Oddiy qilib aytganda, bu maxsus retsept bo'yicha suvda pishirilgan sabzavotlar. Men ikkita boshlang'ich komponentni (sabzavotli salat va suv) va tayyor natijani - borschni ko'rib chiqaman. Geometrik nuqtai nazardan, uni to'rtburchak deb hisoblash mumkin, uning bir tomoni marulni, ikkinchi tomoni esa suvni anglatadi. Ushbu ikki tomonning yig'indisi borschni ko'rsatadi. Bunday "borsch" to'rtburchakning diagonali va maydoni sof matematik tushunchalar bo'lib, hech qachon borsch retseptlarida ishlatilmaydi.
Qanday qilib marul va suv matematik nuqtai nazardan borschga aylanadi? Qanday qilib ikkita chiziq segmentining yig'indisi trigonometriyaga aylanishi mumkin? Buni tushunish uchun bizga chiziqli burchak funktsiyalari kerak.
Matematika darsliklarida chiziqli burchakli funksiyalar haqida hech narsa topa olmaysiz. Ammo ularsiz matematika bo'lishi mumkin emas. Tabiat qonunlari kabi matematika qonunlari, ularning mavjudligi haqida bilishimiz yoki bilmasligimizdan qat'iy nazar ishlaydi.
Chiziqli burchak funktsiyalari qo'shish qonunlaridir. Qanday qilib algebra geometriyaga, geometriya esa trigonometriyaga aylanishiga qarang.
Chiziqli burchak funktsiyalarisiz qilish mumkinmi? Bu mumkin, chunki matematiklar hali ham ularsiz boshqara oladilar. Matematiklarning hiylasi shundaki, ular har doim bizga faqat o'zlari biladigan muammolar haqida gapirib berishadi va hech qachon o'zlari hal qila olmaydigan muammolar haqida gapirmaydilar. Qarang. Agar biz qo'shish va bitta atama natijasini bilsak, boshqa atamani topish uchun ayirishdan foydalanamiz. Hammasi. Biz boshqa muammolarni bilmaymiz va ularni qanday hal qilishni bilmaymiz. Agar biz faqat qo'shish natijasini bilsak va ikkala shartni ham bilmasak, nima qilishimiz kerak? Bunday holda, qo'shilish natijasi chiziqli burchak funktsiyalari yordamida ikkita atamaga bo'linishi kerak. Keyinchalik, bitta atama nima bo'lishi mumkinligini o'zimiz tanlaymiz va chiziqli burchak funktsiyalari ikkinchi haddan qanday bo'lishi kerakligini ko'rsatadi, shunda qo'shilish natijasi bizga kerak bo'lgan narsadir. Bunday juft atamalar cheksiz ko'p bo'lishi mumkin. Kundalik hayotda biz yig'indini ayirmasdan yaxshi tushunamiz. Ammo tabiat qonunlarini ilmiy tadqiq qilishda summani uning tarkibiy qismlariga ajratish juda foydali bo'lishi mumkin.
Matematiklar haqida gapirishni yoqtirmaydigan yana bir qo'shish qonuni (ularning yana bir hiylasi) atamalar bir xil o'lchov birliklariga ega bo'lishini talab qiladi. Salat, suv va borsch uchun bu og'irlik, hajm, qiymat yoki o'lchov birliklari bo'lishi mumkin.
Rasmda matematika uchun ikki darajadagi farq ko'rsatilgan. Birinchi daraja - bu ko'rsatilgan raqamlar sohasidagi farqlar a, b, c. Matematiklar shunday qilishadi. Ikkinchi daraja - kvadrat qavs ichida ko'rsatilgan va harf bilan ko'rsatilgan o'lchov birliklari sohasidagi farqlar. U. Bu fiziklarning qiladigan ishi. Biz uchinchi darajani - tasvirlangan ob'ektlar sohasidagi farqlarni tushunishimiz mumkin. Turli xil ob'ektlar bir xil miqdordagi bir xil o'lchov birliklariga ega bo'lishi mumkin. Bu qanchalik muhimligini borsch trigonometriyasi misolida ko'rishimiz mumkin. Agar biz har xil ob'ektlar uchun bir xil birlik belgisiga pastki belgilar qo'shsak, biz aniq qanday matematik miqdor ma'lum bir ob'ektni tasvirlashini va vaqt o'tishi bilan yoki bizning harakatlarimiz tufayli qanday o'zgarishini ayta olamiz. Xat V Men suvni xat bilan belgilayman S Men salatni xat bilan belgilayman B- borsch. Borscht uchun chiziqli burchak funktsiyalari shunday ko'rinadi.
Agar biz suvning bir qismini va salatning bir qismini olsak, ular birgalikda borschning bir qismiga aylanadi. Bu erda men sizga borschdan bir oz tanaffus qilishni va uzoq bolaligingizni eslashni taklif qilaman. Esingizdami, bizga quyon va o'rdaklarni birlashtirishga qanday o'rgatilgan? Qancha hayvonlar bo'lishini topish kerak edi. O'shanda bizga nima qilishni o'rgatishgan edi? Bizga raqamlardan o'lchov birliklarini ajratish va raqamlarni qo'shish o'rgatilgan. Ha, istalgan bitta raqamni istalgan boshqa raqamga qo'shish mumkin. Bu zamonaviy matematikaning autizmiga to'g'ridan-to'g'ri yo'l - biz buni tushunarsiz tarzda qilamiz, nima uchun tushunarsiz va bu haqiqat bilan qanday bog'liqligini juda yomon tushunamiz, uchta darajadagi farq tufayli matematiklar faqat bittasi bilan ishlaydi. Bir o'lchov birligidan boshqasiga o'tishni o'rganish to'g'riroq bo'ladi.
Bunnies, o'rdaklar va kichik hayvonlarni bo'laklarga bo'lish mumkin. Turli xil ob'ektlar uchun bitta umumiy o'lchov birligi ularni birlashtirishga imkon beradi. Bu muammoning bolalar versiyasi. Keling, kattalar uchun xuddi shunday vazifani ko'rib chiqaylik. Quyonlar va pul qo'shsangiz nima olasiz? Bu erda biz ikkita yechim taklif qilishimiz mumkin.
Birinchi variant. Biz quyonlarning bozor qiymatini aniqlaymiz va uni mavjud pul miqdoriga qo'shamiz. Biz boyligimizning umumiy qiymatini pul shaklida oldik.
Ikkinchi variant. Bizdagi banknotlar soniga quyonlar sonini qo'shishingiz mumkin. Biz ko'char mulk miqdorini bo'laklarga bo'lamiz.
Ko'rib turganingizdek, bir xil qo'shish qonuni turli xil natijalarga erishishga imkon beradi. Hammasi aniq nimani bilmoqchi ekanligimizga bog'liq.
Ammo keling, borschimizga qaytaylik. Endi chiziqli burchak funktsiyalarining turli burchak qiymatlari uchun nima sodir bo'lishini ko'rishimiz mumkin.
Burchak nolga teng. Bizda salat bor, lekin suv yo'q. Biz borschni pishirolmaymiz. Borscht miqdori ham nolga teng. Bu umuman nol borsch nol suvga teng degani emas. Nol salat (to'g'ri burchak) bilan nol borscht bo'lishi mumkin.
Shaxsan men uchun bu haqiqatning asosiy matematik isbotidir. Nol qo'shilganda raqamni o'zgartirmaydi. Buning sababi, agar faqat bitta atama bo'lsa va ikkinchi atama yo'q bo'lsa, qo'shishning o'zi mumkin emas. Siz buni xohlaganingizcha his qilishingiz mumkin, lekin esda tuting - nolga teng bo'lgan barcha matematik operatsiyalarni matematiklarning o'zlari ixtiro qilganlar, shuning uchun mantiqni tashlab, matematiklar tomonidan ixtiro qilingan ta'riflarni ahmoqlik bilan siqib chiqaring: "nolga bo'linish mumkin emas", "har qanday raqam ko'paytiriladi" nol nolga teng", "teshilish nuqtasi noldan tashqarida" va boshqa bema'nilik. Nol raqam emasligini bir marta eslab qolish kifoya va sizda nol natural sonmi yoki yo'qmi degan savol boshqa hech qachon paydo bo'lmaydi, chunki bunday savol butun ma'nosini yo'qotadi: qanday qilib raqam bo'lmagan narsani raqam deb hisoblash mumkin. ? Bu ko'rinmas rangni qanday rangga ajratish kerakligini so'rashga o'xshaydi. Raqamga nol qo'shish u erda bo'lmagan bo'yoq bilan bo'yash bilan bir xil. Biz quruq cho'tka bilan silkitdik va hammaga "biz bo'yalganmiz" dedik. Lekin men biroz chetlanaman.
Burchak noldan katta, ammo qirq besh darajadan kamroq. Bizda juda ko'p salat bor, lekin suv etarli emas. Natijada, biz qalin borschni olamiz.
Burchak qirq besh daraja. Bizda teng miqdorda suv va salat bor. Bu mukammal borsch (meni kechiring, oshpazlar, bu faqat matematika).
Burchak qirq besh darajadan kattaroq, lekin to'qson darajadan kamroq. Bizda ko'p suv va ozgina salat bor. Siz suyuq borsch olasiz.
To'g'ri burchak. Bizda suv bor. Salatadan qolgan hamma narsa xotiralardir, chunki biz bir vaqtlar salatni belgilagan chiziqdan burchakni o'lchashni davom ettiramiz. Biz borschni pishirolmaymiz. Borscht miqdori nolga teng. Bunday holda, suv bor ekan, ushlab turing va iching)))
Bu yerga. Shunga o'xshash narsa. Men bu erda o'rinliroq bo'lgan boshqa hikoyalarni aytib bera olaman.
Ikki do'st umumiy biznesda o'z ulushlariga ega edi. Ulardan birini o'ldirgandan keyin hammasi ikkinchisiga o'tdi.
Sayyoramizda matematikaning paydo bo'lishi.
Bu hikoyalarning barchasi chiziqli burchak funktsiyalari yordamida matematika tilida aytiladi. Boshqa payt men sizga bu funktsiyalarning matematika tuzilishidagi haqiqiy o'rnini ko'rsataman. Shu bilan birga, keling, borsch trigonometriyasiga qaytaylik va proyeksiyalarni ko'rib chiqaylik.
Shanba, 26 oktyabr, 2019 yil
Chorshanba, 7-avgust, 2019-yil
Suhbatni yakunlab, biz cheksiz to'plamni ko'rib chiqishimiz kerak. Gap shundaki, “cheksizlik” tushunchasi matematiklarga xuddi quyonga ta’sir qilganidek ta’sir qiladi. Cheksizlikning titroq dahshati matematiklarni sog'lom fikrdan mahrum qiladi. Mana bir misol:
Asl manba joylashgan. Alpha haqiqiy sonni anglatadi. Yuqoridagi ifodalardagi tenglik belgisi cheksizlikka son yoki cheksizlik qo‘shilsa, hech narsa o‘zgarmasligini, natijada bir xil cheksizlik bo‘lishini ko‘rsatadi. Agar biz cheksiz natural sonlar to'plamini misol qilib olsak, ko'rib chiqilayotgan misollarni quyidagicha ifodalash mumkin:
Ularning to'g'ri ekanligini aniq isbotlash uchun matematiklar juda ko'p turli xil usullarni o'ylab topishdi. Shaxsan men bu usullarning barchasiga shamanlarning daflar bilan raqs tushishi kabi qarayman. Aslini olganda, ularning barchasi yo ba'zi xonalar band bo'lmagani va yangi mehmonlar ko'chib o'tayotgani yoki mehmonlarning ba'zilari mehmonlarga joy berish uchun (juda insoniy) koridorga uloqtirilgani bilan bog'liq. Men bunday qarorlar bo'yicha o'z nuqtai nazarimni Blonde haqida fantastik hikoya shaklida taqdim etdim. Mening fikrim nimaga asoslanadi? Cheksiz miqdordagi tashrif buyuruvchilarni ko'chirish cheksiz vaqtni oladi. Mehmon uchun birinchi xonani bo'shatganimizdan so'ng, tashrif buyuruvchilardan biri har doim o'z xonasidan ikkinchisiga koridor bo'ylab oxirigacha yuradi. Albatta, vaqt omilini ahmoqona e'tiborsiz qoldirish mumkin, ammo bu "ahmoqlar uchun qonun yozilmagan" toifasida bo'ladi. Hammasi nima qilayotganimizga bog'liq: haqiqatni matematik nazariyalarga moslashtirish yoki aksincha.
"Cheksiz mehmonxona" nima? Cheksiz mehmonxona - bu qancha xonada bo'lishidan qat'i nazar, har doim bo'sh yotoqlari bo'lgan mehmonxona. Agar cheksiz "mehmon" koridoridagi barcha xonalar band bo'lsa, "mehmon" xonalari bo'lgan yana bir cheksiz koridor mavjud. Bunday koridorlar cheksiz ko'p bo'ladi. Qolaversa, “cheksiz mehmonxona” cheksiz sonli xudolar tomonidan yaratilgan cheksiz koinotdagi cheksiz sonli sayyoralardagi cheksiz sonli binolarda cheksiz sonli qavatlarga ega. Matematiklar oddiy kundalik muammolardan uzoqlasha olmaydilar: har doim bitta Xudo-Alloh-Budda bor, faqat bitta mehmonxona bor, faqat bitta yo'lak bor. Shunday qilib, matematiklar mehmonxona xonalarining seriya raqamlarini o'zgartirishga harakat qilmoqdalar va bizni "mumkin bo'lmagan narsaga o'tish" mumkinligiga ishontirishmoqda.
Men sizga cheksiz natural sonlar to'plami misolida o'z mulohazalarim mantiqini ko'rsataman. Avval siz juda oddiy savolga javob berishingiz kerak: nechta natural sonlar to'plami bor - bitta yoki ko'p? Bu savolga to'g'ri javob yo'q, chunki biz raqamlarni o'zimiz ixtiro qilganmiz, chunki tabiatda raqamlar mavjud emas; Ha, Tabiat hisoblashda zo'r, lekin buning uchun u bizga tanish bo'lmagan boshqa matematik vositalardan foydalanadi. Tabiatning fikrini boshqa safar sizga aytaman. Biz raqamlarni ixtiro qilganimiz sababli, natural sonlarning nechta to'plami borligini o'zimiz hal qilamiz. Haqiqiy olimlarga mos keladigan ikkala variantni ham ko'rib chiqaylik.
Birinchi variant. Tokchada tinchgina yotgan natural sonlarning bitta to'plami "Bizga berilsin". Biz bu to'plamni javondan olamiz. Hammasi bo'ldi, javonda boshqa natural sonlar qolmadi va ularni olib ketadigan joy ham yo'q. Biz bu to'plamga bitta qo'sha olmaymiz, chunki bizda allaqachon mavjud. Agar chindan ham xohlasangiz nima bo'ladi? Hammasi joyida. Biz allaqachon olgan to'plamdan birini olib, uni javonga qaytarishimiz mumkin. Shundan so'ng, biz rafdan birini olib, qolgan narsalarga qo'shishimiz mumkin. Natijada, biz yana cheksiz natural sonlar to'plamini olamiz. Siz bizning barcha manipulyatsiyalarimizni quyidagicha yozishingiz mumkin:
Men harakatlarni algebraik yozuvda va to‘plam nazariyasi yozuvida, to‘plam elementlarining batafsil ro‘yxati bilan yozdim. Pastki belgisi bizda bitta va yagona natural sonlar to'plami mavjudligini bildiradi. Ma’lum bo‘lishicha, natural sonlar to‘plami undan bitta ayirilsa va bir xil birlik qo‘shilsagina o‘zgarishsiz qoladi.
Ikkinchi variant. Bizning javonimizda ko'plab cheksiz natural sonlar to'plami mavjud. Men ta'kidlayman - TURLI, garchi ular amalda farqlanmaydi. Keling, ushbu to'plamlardan birini olaylik. Keyin boshqa natural sonlar to'plamidan bittasini olamiz va uni allaqachon olgan to'plamga qo'shamiz. Hatto ikkita natural sonlar to'plamini qo'shishimiz mumkin. Buni olamiz:
"Bir" va "ikki" pastki belgisi bu elementlarning turli to'plamlarga tegishli ekanligini ko'rsatadi. Ha, agar siz cheksiz to'plamga bitta qo'shsangiz, natijada ham cheksiz to'plam bo'ladi, lekin u asl to'plam bilan bir xil bo'lmaydi. Bitta cheksiz to‘plamga boshqa cheksiz to‘plam qo‘shsangiz, natijada birinchi ikki to‘plam elementlaridan tashkil topgan yangi cheksiz to‘plam hosil bo‘ladi.
Natural sonlar to'plami o'lchash uchun o'lchagich bilan bir xil tarzda hisoblash uchun ishlatiladi. Endi o'lchagichga bir santimetr qo'shganingizni tasavvur qiling. Bu asl chiziqqa teng bo'lmagan boshqa chiziq bo'ladi.
Mening fikrimni qabul qilishingiz yoki qabul qilmasligingiz mumkin - bu sizning shaxsiy ishingiz. Ammo, agar siz matematik muammolarga duch kelsangiz, matematiklarning avlodlari bosib o'tgan yolg'on fikrlash yo'lidan ketyapsizmi, deb o'ylab ko'ring. Zero, matematikani o‘rganish, eng avvalo, bizda tafakkurning barqaror stereotipini shakllantiradi va shundan keyingina aqliy qobiliyatimizni oshiradi (yoki aksincha, bizni erkin fikrlashdan mahrum qiladi).
pozg.ru
Yakshanba, 4-avgust, 2019-yil
Men maqolaning postscriptini tugatayotgan edim va Vikipediyada ushbu ajoyib matnni ko'rdim:
Biz o'qiymiz: "... Bobil matematikasining boy nazariy asosi yaxlit xususiyatga ega emas edi va umumiy tizim va dalillar bazasidan mahrum bo'lgan turli xil texnikalar to'plamiga qisqartirildi".
Voy-buy! Biz qanchalik aqllimiz va boshqalarning kamchiliklarini qanchalik yaxshi ko'ra olamiz. Zamonaviy matematikaga bir xil kontekstda qarash biz uchun qiyinmi? Yuqoridagi matnni biroz izohlab, men shaxsan quyidagilarni oldim:
Zamonaviy matematikaning boy nazariy asosi yaxlit xususiyatga ega emas va umumiy tizim va dalillar bazasidan mahrum bo'lgan turli bo'limlar to'plamiga qisqartiriladi.
Men so'zlarimni tasdiqlash uchun uzoqqa bormayman - bu matematikaning boshqa ko'plab sohalari tili va qoidalaridan farq qiladigan til va qoidalarga ega. Matematikaning turli sohalaridagi bir xil nomlar har xil ma'noga ega bo'lishi mumkin. Men bir qator nashrlarni zamonaviy matematikaning eng aniq xatolariga bag'ishlamoqchiman. Ko'rishguncha.
Shanba, 3-avgust, 2019-yil
To‘plamni kichik to‘plamlarga qanday ajratish mumkin? Buning uchun tanlangan to'plamning ba'zi elementlarida mavjud bo'lgan yangi o'lchov birligini kiritishingiz kerak. Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik.
Bizda ko'p bo'lsin A to'rt kishidan iborat. Ushbu to'plam "odamlar" asosida tuzilgan. Keling, ushbu to'plamning elementlarini harf bilan belgilaymiz A, raqam bilan pastki belgisi ushbu to'plamdagi har bir shaxsning seriya raqamini ko'rsatadi. Keling, yangi "jins" o'lchov birligini kiritamiz va uni harf bilan belgilaymiz b. Jinsiy xususiyatlar barcha odamlarga xos bo'lganligi sababli, biz to'plamning har bir elementini ko'paytiramiz A jinsga asoslangan b. E'tibor bering, bizning "odamlar" to'plami endi "gender xususiyatlariga ega odamlar" to'plamiga aylandi. Shundan so'ng biz jinsiy xususiyatlarni erkaklarga ajratishimiz mumkin bm va ayollar bw jinsiy xususiyatlar. Endi biz matematik filtrni qo'llashimiz mumkin: biz ushbu jinsiy xususiyatlardan birini tanlaymiz, qaysi biri - erkak yoki ayol. Agar odamda bo'lsa, biz uni birga ko'paytiramiz, agar bunday belgi bo'lmasa, uni nolga ko'paytiramiz. Va keyin biz oddiy maktab matematikasidan foydalanamiz. Qarang, nima bo'ldi.
Ko'paytirish, qisqartirish va qayta tartibga solishdan so'ng biz ikkita kichik to'plamga ega bo'ldik: erkaklar to'plami Bm va ayollarning bir qismi Bw. Matematiklar to'plamlar nazariyasini amaliyotda qo'llashda taxminan xuddi shunday fikr yuritadilar. Ammo ular bizga tafsilotlarni aytmaydilar, lekin yakuniy natijani beradilar - "ko'p odamlar erkaklar va ayollarning bir qismidan iborat". Tabiiyki, sizda savol tug'ilishi mumkin: yuqorida ko'rsatilgan o'zgarishlarda matematika qanchalik to'g'ri qo'llanilgan? Sizni ishontirishga jur'at etamanki, o'zgartirishlar mohiyatan to'g'ri amalga oshirildi, buning uchun arifmetika, mantiqiy algebra va matematikaning boshqa sohalarini bilish kifoya. Bu nima? Boshqa payt men sizga bu haqda aytib beraman.
Supersetlarga kelsak, ushbu ikkita to'plamning elementlarida mavjud o'lchov birligini tanlab, ikkita to'plamni bitta supersetga birlashtira olasiz.
Ko'rib turganingizdek, o'lchov birliklari va oddiy matematika to'plamlar nazariyasini o'tmishning yodgorligiga aylantiradi. To'plamlar nazariyasida hamma narsa yaxshi emasligining belgisi shundaki, matematiklar to'plamlar nazariyasi uchun o'z tillari va yozuvlarini o'ylab topishgan. Matematiklar bir paytlar shamanlar kabi harakat qilishgan. Faqat shamanlar o'zlarining "bilimlarini" qanday "to'g'ri" qo'llashni bilishadi. Ular bizga bu "bilim" ni o'rgatadi.
Xulosa qilib aytganda, men sizga matematiklar qanday manipulyatsiya qilishini ko'rsatmoqchiman.
Dushanba, 7 yanvar, 2019 yil
Miloddan avvalgi V asrda qadimgi yunon faylasufi Eleyalik Zenon o'zining mashhur aporiyalarini tuzgan, ulardan eng mashhuri "Axilles va toshbaqa" aporiyasidir. Bu qanday eshitiladi:
Aytaylik, Axilles toshbaqadan o'n barobar tezroq yuguradi va undan ming qadam orqada. Bu masofani bosib o'tish uchun Axilles kerak bo'lgan vaqt ichida toshbaqa xuddi shu yo'nalishda yuz qadam sudraladi. Axilles yuz qadam yugurganda, toshbaqa yana o'n qadam sudraladi va hokazo. Jarayon infinitum davom etadi, Axilles hech qachon toshbaqaga yetib bormaydi.
Bu mulohaza barcha keyingi avlodlar uchun mantiqiy zarba bo'ldi. Aristotel, Diogen, Kant, Gegel, Gilbert... Ularning barchasi Zenonning aporiyasini u yoki bu tarzda hisoblagan. Shok shu qadar kuchli ediki " ... munozaralar bugungi kungacha davom etmoqda, ilmiy jamoatchilik hali paradokslar mohiyati haqida umumiy fikrga kela olmadi ... masalani o'rganishga matematik tahlil, to'plamlar nazariyasi, yangi fizik va falsafiy yondashuvlar jalb qilindi; ; ularning hech biri muammoning umumiy qabul qilingan yechimiga aylanmadi ..."[Vikipediya, "Zeno's Aporia". Hamma ularni aldashayotganini tushunadi, lekin hech kim yolg'on nimadan iboratligini tushunmaydi.
Matematik nuqtai nazardan Zenon o'z aporiyasida miqdordan ga o'tishni aniq ko'rsatdi. Ushbu o'tish doimiy o'rniga dasturni nazarda tutadi. Men tushunganimdek, o'zgaruvchan o'lchov birliklaridan foydalanish uchun matematik apparat hali ishlab chiqilmagan yoki Zenon aporiyasiga qo'llanilmagan. Odatdagi mantiqimizni qo'llash bizni tuzoqqa olib boradi. Biz fikrlash inertsiyasi tufayli o'zaro qiymatga doimiy vaqt birliklarini qo'llaymiz. Jismoniy nuqtai nazardan, bu Axilles toshbaqani quvib yetgan paytda to'liq to'xtaguncha vaqt sekinlashayotganga o'xshaydi. Vaqt to'xtasa, Axilles endi toshbaqadan o'tib keta olmaydi.
Agar biz odatdagi mantiqimizni aylantirsak, hamma narsa joyiga tushadi. Axilles doimiy tezlikda yuguradi. Uning yo'lining har bir keyingi qismi avvalgisidan o'n baravar qisqaroq. Shunga ko'ra, uni engish uchun sarflangan vaqt avvalgisidan o'n baravar kam. Agar biz ushbu vaziyatda "abadiylik" tushunchasini qo'llasak, "Axilles toshbaqani cheksiz tezlikda ushlaydi" deyish to'g'ri bo'ladi.
Ushbu mantiqiy tuzoqdan qanday qochish kerak? Doimiy vaqt birliklarida qoling va o'zaro birliklarga o'tmang. Zenon tilida bu shunday ko'rinadi:
Axilles ming qadam yugurishi kerak bo'lgan vaqt ichida toshbaqa xuddi shu yo'nalishda yuz qadam sudraladi. Birinchisiga teng bo'lgan keyingi vaqt oralig'ida Axilles yana ming qadam yuguradi, toshbaqa esa yuz qadam sudraladi. Endi Axilles toshbaqadan sakkiz yuz qadam oldinda.
Bu yondashuv voqelikni mantiqiy paradokslarsiz adekvat tasvirlaydi. Ammo bu muammoning to'liq yechimi emas. Eynshteynning yorug'lik tezligining chidab bo'lmasligi haqidagi bayonoti Zenonning "Axilles va toshbaqa" aporiyasiga juda o'xshaydi. Biz bu muammoni hali o'rganishimiz, qayta o'ylab ko'rishimiz va hal qilishimiz kerak. Va yechimni cheksiz ko'p sonlarda emas, balki o'lchov birliklarida izlash kerak.
Zenonning yana bir qiziqarli aporiyasi uchadigan o'q haqida gapiradi:
Uchib yuruvchi o'q harakatsiz, chunki u har daqiqada dam oladi va har daqiqada dam bo'lgani uchun u doimo dam oladi.
Ushbu aporiyada mantiqiy paradoks juda sodda tarzda engib o'tiladi - har bir vaqtning har bir lahzasida uchuvchi o'q kosmosning turli nuqtalarida tinch holatda bo'lishini aniqlashtirish kifoya, bu aslida harakatdir. Shu o‘rinda yana bir jihatga e’tibor qaratish lozim. Yo'lda avtomobilning bitta fotosuratidan uning harakatlanish faktini ham, unga bo'lgan masofani ham aniqlab bo'lmaydi. Mashinaning harakatlanayotganligini aniqlash uchun sizga vaqtning turli nuqtalarida bir nuqtadan olingan ikkita fotosurat kerak, ammo siz ulardan masofani aniqlay olmaysiz. Avtomobilgacha bo'lgan masofani aniqlash uchun sizga bir vaqtning o'zida kosmosning turli nuqtalaridan olingan ikkita fotosurat kerak, ammo ulardan siz harakat faktini aniqlay olmaysiz (albatta, hisob-kitoblar uchun sizga hali ham qo'shimcha ma'lumotlar kerak, trigonometriya sizga yordam beradi ). Men alohida e'tibor qaratmoqchi bo'lgan narsa shundaki, vaqtning ikki nuqtasi va kosmosdagi ikkita nuqta chalkashmaslik kerak bo'lgan turli xil narsalardir, chunki ular tadqiqot uchun turli imkoniyatlar yaratadi.
Men sizga jarayonni misol bilan ko'rsataman. Biz "pimple ichidagi qizil qattiq" ni tanlaymiz - bu bizning "butun". Shu bilan birga, biz bu narsalarning kamonli va kamonsiz borligini ko'ramiz. Shundan so'ng, biz "butun" ning bir qismini tanlaymiz va "kamon bilan" to'plamni hosil qilamiz. Shamanlar o'zlarining to'plam nazariyasini haqiqatga bog'lash orqali oziq-ovqatlarini shu tarzda olishadi.
Endi bir oz hiyla qilaylik. Keling, "pimple va kamon bilan qattiq" ni olaylik va qizil elementlarni tanlab, bu "butunlarni" rangga ko'ra birlashtiramiz. Bizda juda ko'p "qizil" bor. Endi yakuniy savol: natijada "kamon bilan" va "qizil" to'plamlar bir xil to'plammi yoki ikki xil to'plammi? Javobni faqat shamanlar biladi. Aniqrog'i, ularning o'zlari hech narsani bilishmaydi, lekin ular aytganidek, shunday bo'ladi.
Bu oddiy misol shuni ko'rsatadiki, to'plam nazariyasi haqiqatga kelganda mutlaqo foydasizdir. Buning siri nimada? Biz "pimple va kamon bilan qizil qattiq" to'plamini yaratdik. Shakllanish to'rt xil o'lchov birligida sodir bo'ldi: rang (qizil), kuch (qattiq), pürüzlülük (pimply), bezak (kamon bilan). Faqat o'lchov birliklari to'plami haqiqiy ob'ektlarni matematika tilida etarli darajada tasvirlashga imkon beradi.. Bu shunday ko'rinadi.
Turli indeksli "a" harfi turli o'lchov birliklarini bildiradi. Dastlabki bosqichda "butun" ajralib turadigan o'lchov birliklari qavs ichida ta'kidlangan. Qavs ichidan to‘plam hosil bo‘lgan o‘lchov birligi olinadi. Oxirgi satr yakuniy natijani ko'rsatadi - to'plam elementi. Ko'rib turganingizdek, to'plamni shakllantirish uchun o'lchov birliklaridan foydalansak, natija bizning harakatlarimiz tartibiga bog'liq emas. Va bu matematika, shamanlarning daf bilan raqsga tushishi emas. Shamanlar "intuitiv ravishda" bir xil natijaga kelishlari mumkin, bu "aniq" ekanligini ta'kidlaydilar, chunki o'lchov birliklari ularning "ilmiy" arsenalining bir qismi emas.
O'lchov birliklaridan foydalanib, bitta to'plamni ajratish yoki bir nechta to'plamlarni bitta supersetga birlashtirish juda oson. Keling, ushbu jarayonning algebrasini batafsil ko'rib chiqaylik.
Trigonometrik doira. Birlik doirasi. Raqamli doira. Bu nima?
Diqqat!
Qo'shimchalar mavjud
555-sonli maxsus bo'limdagi materiallar.
Juda "juda emas ..." bo'lganlar uchun
Va "juda ..." bo'lganlar uchun)
Juda tez-tez atamalar trigonometrik doira, birlik doirasi, son doirasi talabalar tomonidan yomon tushuniladi. Va mutlaqo behuda. Bu tushunchalar trigonometriyaning barcha sohalarida kuchli va universal yordamchi hisoblanadi. Aslida, bu qonuniy aldash varag'i! Men trigonometrik doira chizdim va darhol javoblarni ko'rdim! Jozibalimi? Shunday qilib, o'rganamiz, bunday narsani ishlatmaslik gunoh bo'ladi. Bundan tashqari, bu umuman qiyin emas.
Trigonometrik doira bilan muvaffaqiyatli ishlash uchun siz faqat uchta narsani bilishingiz kerak.
Agar sizga bu sayt yoqsa...
Aytgancha, menda siz uchun yana bir nechta qiziqarli saytlar bor.)
Siz misollarni yechishda mashq qilishingiz va o'z darajangizni bilib olishingiz mumkin. Tezkor tekshirish bilan sinov. Keling, o'rganamiz - qiziqish bilan!)
Funksiyalar va hosilalar bilan tanishishingiz mumkin.
Oddiy qilib aytganda, bu maxsus retsept bo'yicha suvda pishirilgan sabzavotlar. Men ikkita boshlang'ich komponentni (sabzavotli salat va suv) va tayyor natijani - borschni ko'rib chiqaman. Geometrik nuqtai nazardan, uni to'rtburchak deb hisoblash mumkin, uning bir tomoni marulni, ikkinchi tomoni esa suvni anglatadi. Ushbu ikki tomonning yig'indisi borschni ko'rsatadi. Bunday "borsch" to'rtburchakning diagonali va maydoni sof matematik tushunchalar bo'lib, hech qachon borsch retseptlarida ishlatilmaydi.
Qanday qilib marul va suv matematik nuqtai nazardan borschga aylanadi? Qanday qilib ikkita chiziq segmentining yig'indisi trigonometriyaga aylanishi mumkin? Buni tushunish uchun bizga chiziqli burchak funktsiyalari kerak.
Matematika darsliklarida chiziqli burchakli funksiyalar haqida hech narsa topa olmaysiz. Ammo ularsiz matematika bo'lishi mumkin emas. Tabiat qonunlari kabi matematika qonunlari, ularning mavjudligi haqida bilishimiz yoki bilmasligimizdan qat'iy nazar ishlaydi.
Chiziqli burchak funktsiyalari qo'shish qonunlaridir. Qanday qilib algebra geometriyaga, geometriya esa trigonometriyaga aylanishiga qarang.
Chiziqli burchak funktsiyalarisiz qilish mumkinmi? Bu mumkin, chunki matematiklar hali ham ularsiz boshqara oladilar. Matematiklarning hiylasi shundaki, ular har doim bizga faqat o'zlari biladigan muammolar haqida gapirib berishadi va hech qachon o'zlari hal qila olmaydigan muammolar haqida gapirmaydilar. Qarang. Agar biz qo'shish va bitta atama natijasini bilsak, boshqa atamani topish uchun ayirishdan foydalanamiz. Hammasi. Biz boshqa muammolarni bilmaymiz va ularni qanday hal qilishni bilmaymiz. Agar biz faqat qo'shish natijasini bilsak va ikkala shartni ham bilmasak, nima qilishimiz kerak? Bunday holda, qo'shilish natijasi chiziqli burchak funktsiyalari yordamida ikkita atamaga bo'linishi kerak. Keyinchalik, bitta atama nima bo'lishi mumkinligini o'zimiz tanlaymiz va chiziqli burchak funktsiyalari ikkinchi haddan qanday bo'lishi kerakligini ko'rsatadi, shunda qo'shilish natijasi bizga kerak bo'lgan narsadir. Bunday juft atamalar cheksiz ko'p bo'lishi mumkin. Kundalik hayotda biz yig'indini ayirmasdan yaxshi tushunamiz. Ammo tabiat qonunlarini ilmiy tadqiq qilishda summani uning tarkibiy qismlariga ajratish juda foydali bo'lishi mumkin.
Matematiklar haqida gapirishni yoqtirmaydigan yana bir qo'shish qonuni (ularning yana bir hiylasi) atamalar bir xil o'lchov birliklariga ega bo'lishini talab qiladi. Salat, suv va borsch uchun bu og'irlik, hajm, qiymat yoki o'lchov birliklari bo'lishi mumkin.
Rasmda matematika uchun ikki darajadagi farq ko'rsatilgan. Birinchi daraja - bu ko'rsatilgan raqamlar sohasidagi farqlar a, b, c. Matematiklar shunday qilishadi. Ikkinchi daraja - kvadrat qavs ichida ko'rsatilgan va harf bilan ko'rsatilgan o'lchov birliklari sohasidagi farqlar. U. Bu fiziklarning qiladigan ishi. Biz uchinchi darajani - tasvirlangan ob'ektlar sohasidagi farqlarni tushunishimiz mumkin. Turli xil ob'ektlar bir xil miqdordagi bir xil o'lchov birliklariga ega bo'lishi mumkin. Bu qanchalik muhimligini borsch trigonometriyasi misolida ko'rishimiz mumkin. Agar biz har xil ob'ektlar uchun bir xil birlik belgisiga pastki belgilar qo'shsak, biz aniq qanday matematik miqdor ma'lum bir ob'ektni tasvirlashini va vaqt o'tishi bilan yoki bizning harakatlarimiz tufayli qanday o'zgarishini ayta olamiz. Xat V Men suvni xat bilan belgilayman S Men salatni xat bilan belgilayman B- borsch. Borscht uchun chiziqli burchak funktsiyalari shunday ko'rinadi.
Agar biz suvning bir qismini va salatning bir qismini olsak, ular birgalikda borschning bir qismiga aylanadi. Bu erda men sizga borschdan bir oz tanaffus qilishni va uzoq bolaligingizni eslashni taklif qilaman. Esingizdami, bizga quyon va o'rdaklarni birlashtirishga qanday o'rgatilgan? Qancha hayvonlar bo'lishini topish kerak edi. O'shanda bizga nima qilishni o'rgatishgan edi? Bizga raqamlardan o'lchov birliklarini ajratish va raqamlarni qo'shish o'rgatilgan. Ha, istalgan bitta raqamni istalgan boshqa raqamga qo'shish mumkin. Bu zamonaviy matematikaning autizmiga to'g'ridan-to'g'ri yo'l - biz buni tushunarsiz tarzda qilamiz, nima uchun tushunarsiz va bu haqiqat bilan qanday bog'liqligini juda yomon tushunamiz, uchta darajadagi farq tufayli matematiklar faqat bittasi bilan ishlaydi. Bir o'lchov birligidan boshqasiga o'tishni o'rganish to'g'riroq bo'ladi.
Bunnies, o'rdaklar va kichik hayvonlarni bo'laklarga bo'lish mumkin. Turli xil ob'ektlar uchun bitta umumiy o'lchov birligi ularni birlashtirishga imkon beradi. Bu muammoning bolalar versiyasi. Keling, kattalar uchun xuddi shunday vazifani ko'rib chiqaylik. Quyonlar va pul qo'shsangiz nima olasiz? Bu erda biz ikkita yechim taklif qilishimiz mumkin.
Birinchi variant. Biz quyonlarning bozor qiymatini aniqlaymiz va uni mavjud pul miqdoriga qo'shamiz. Biz boyligimizning umumiy qiymatini pul shaklida oldik.
Ikkinchi variant. Bizdagi banknotlar soniga quyonlar sonini qo'shishingiz mumkin. Biz ko'char mulk miqdorini bo'laklarga bo'lamiz.
Ko'rib turganingizdek, bir xil qo'shish qonuni turli xil natijalarga erishishga imkon beradi. Hammasi aniq nimani bilmoqchi ekanligimizga bog'liq.
Ammo keling, borschimizga qaytaylik. Endi chiziqli burchak funktsiyalarining turli burchak qiymatlari uchun nima sodir bo'lishini ko'rishimiz mumkin.
Burchak nolga teng. Bizda salat bor, lekin suv yo'q. Biz borschni pishirolmaymiz. Borscht miqdori ham nolga teng. Bu umuman nol borsch nol suvga teng degani emas. Nol salat (to'g'ri burchak) bilan nol borscht bo'lishi mumkin.
Shaxsan men uchun bu haqiqatning asosiy matematik isbotidir. Nol qo'shilganda raqamni o'zgartirmaydi. Buning sababi, agar faqat bitta atama bo'lsa va ikkinchi atama yo'q bo'lsa, qo'shishning o'zi mumkin emas. Siz buni xohlaganingizcha his qilishingiz mumkin, lekin esda tuting - nolga teng bo'lgan barcha matematik operatsiyalarni matematiklarning o'zlari ixtiro qilganlar, shuning uchun mantiqni tashlab, matematiklar tomonidan ixtiro qilingan ta'riflarni ahmoqlik bilan siqib chiqaring: "nolga bo'linish mumkin emas", "har qanday raqam ko'paytiriladi" nol nolga teng", "teshilish nuqtasi noldan tashqarida" va boshqa bema'nilik. Nol raqam emasligini bir marta eslab qolish kifoya va sizda nol natural sonmi yoki yo'qmi degan savol boshqa hech qachon paydo bo'lmaydi, chunki bunday savol butun ma'nosini yo'qotadi: qanday qilib raqam bo'lmagan narsani raqam deb hisoblash mumkin. ? Bu ko'rinmas rangni qanday rangga ajratish kerakligini so'rashga o'xshaydi. Raqamga nol qo'shish u erda bo'lmagan bo'yoq bilan bo'yash bilan bir xil. Biz quruq cho'tka bilan silkitdik va hammaga "biz bo'yalganmiz" dedik. Lekin men biroz chetlanaman.
Burchak noldan katta, ammo qirq besh darajadan kamroq. Bizda juda ko'p salat bor, lekin suv etarli emas. Natijada, biz qalin borschni olamiz.
Burchak qirq besh daraja. Bizda teng miqdorda suv va salat bor. Bu mukammal borsch (meni kechiring, oshpazlar, bu faqat matematika).
Burchak qirq besh darajadan kattaroq, lekin to'qson darajadan kamroq. Bizda ko'p suv va ozgina salat bor. Siz suyuq borsch olasiz.
To'g'ri burchak. Bizda suv bor. Salatadan qolgan hamma narsa xotiralardir, chunki biz bir vaqtlar salatni belgilagan chiziqdan burchakni o'lchashni davom ettiramiz. Biz borschni pishirolmaymiz. Borscht miqdori nolga teng. Bunday holda, suv bor ekan, ushlab turing va iching)))
Bu yerga. Shunga o'xshash narsa. Men bu erda o'rinliroq bo'lgan boshqa hikoyalarni aytib bera olaman.
Ikki do'st umumiy biznesda o'z ulushlariga ega edi. Ulardan birini o'ldirgandan keyin hammasi ikkinchisiga o'tdi.
Sayyoramizda matematikaning paydo bo'lishi.
Bu hikoyalarning barchasi chiziqli burchak funktsiyalari yordamida matematika tilida aytiladi. Boshqa payt men sizga bu funktsiyalarning matematika tuzilishidagi haqiqiy o'rnini ko'rsataman. Shu bilan birga, keling, borsch trigonometriyasiga qaytaylik va proyeksiyalarni ko'rib chiqaylik.
Shanba, 26 oktyabr, 2019 yil
Chorshanba, 7-avgust, 2019-yil
Suhbatni yakunlab, biz cheksiz to'plamni ko'rib chiqishimiz kerak. Gap shundaki, “cheksizlik” tushunchasi matematiklarga xuddi quyonga ta’sir qilganidek ta’sir qiladi. Cheksizlikning titroq dahshati matematiklarni sog'lom fikrdan mahrum qiladi. Mana bir misol:
Asl manba joylashgan. Alpha haqiqiy sonni anglatadi. Yuqoridagi ifodalardagi tenglik belgisi cheksizlikka son yoki cheksizlik qo‘shilsa, hech narsa o‘zgarmasligini, natijada bir xil cheksizlik bo‘lishini ko‘rsatadi. Agar biz cheksiz natural sonlar to'plamini misol qilib olsak, ko'rib chiqilayotgan misollarni quyidagicha ifodalash mumkin:
Ularning to'g'ri ekanligini aniq isbotlash uchun matematiklar juda ko'p turli xil usullarni o'ylab topishdi. Shaxsan men bu usullarning barchasiga shamanlarning daflar bilan raqs tushishi kabi qarayman. Aslini olganda, ularning barchasi yo ba'zi xonalar band bo'lmagani va yangi mehmonlar ko'chib o'tayotgani yoki mehmonlarning ba'zilari mehmonlarga joy berish uchun (juda insoniy) koridorga uloqtirilgani bilan bog'liq. Men bunday qarorlar bo'yicha o'z nuqtai nazarimni Blonde haqida fantastik hikoya shaklida taqdim etdim. Mening fikrim nimaga asoslanadi? Cheksiz miqdordagi tashrif buyuruvchilarni ko'chirish cheksiz vaqtni oladi. Mehmon uchun birinchi xonani bo'shatganimizdan so'ng, tashrif buyuruvchilardan biri har doim o'z xonasidan ikkinchisiga koridor bo'ylab oxirigacha yuradi. Albatta, vaqt omilini ahmoqona e'tiborsiz qoldirish mumkin, ammo bu "ahmoqlar uchun qonun yozilmagan" toifasida bo'ladi. Hammasi nima qilayotganimizga bog'liq: haqiqatni matematik nazariyalarga moslashtirish yoki aksincha.
"Cheksiz mehmonxona" nima? Cheksiz mehmonxona - bu qancha xonada bo'lishidan qat'i nazar, har doim bo'sh yotoqlari bo'lgan mehmonxona. Agar cheksiz "mehmon" koridoridagi barcha xonalar band bo'lsa, "mehmon" xonalari bo'lgan yana bir cheksiz koridor mavjud. Bunday koridorlar cheksiz ko'p bo'ladi. Qolaversa, “cheksiz mehmonxona” cheksiz sonli xudolar tomonidan yaratilgan cheksiz koinotdagi cheksiz sonli sayyoralardagi cheksiz sonli binolarda cheksiz sonli qavatlarga ega. Matematiklar oddiy kundalik muammolardan uzoqlasha olmaydilar: har doim bitta Xudo-Alloh-Budda bor, faqat bitta mehmonxona bor, faqat bitta yo'lak bor. Shunday qilib, matematiklar mehmonxona xonalarining seriya raqamlarini o'zgartirishga harakat qilmoqdalar va bizni "mumkin bo'lmagan narsaga o'tish" mumkinligiga ishontirishmoqda.
Men sizga cheksiz natural sonlar to'plami misolida o'z mulohazalarim mantiqini ko'rsataman. Avval siz juda oddiy savolga javob berishingiz kerak: nechta natural sonlar to'plami bor - bitta yoki ko'p? Bu savolga to'g'ri javob yo'q, chunki biz raqamlarni o'zimiz ixtiro qilganmiz, chunki tabiatda raqamlar mavjud emas; Ha, Tabiat hisoblashda zo'r, lekin buning uchun u bizga tanish bo'lmagan boshqa matematik vositalardan foydalanadi. Tabiatning fikrini boshqa safar sizga aytaman. Biz raqamlarni ixtiro qilganimiz sababli, natural sonlarning nechta to'plami borligini o'zimiz hal qilamiz. Haqiqiy olimlarga mos keladigan ikkala variantni ham ko'rib chiqaylik.
Birinchi variant. Tokchada tinchgina yotgan natural sonlarning bitta to'plami "Bizga berilsin". Biz bu to'plamni javondan olamiz. Hammasi bo'ldi, javonda boshqa natural sonlar qolmadi va ularni olib ketadigan joy ham yo'q. Biz bu to'plamga bitta qo'sha olmaymiz, chunki bizda allaqachon mavjud. Agar chindan ham xohlasangiz nima bo'ladi? Hammasi joyida. Biz allaqachon olgan to'plamdan birini olib, uni javonga qaytarishimiz mumkin. Shundan so'ng, biz rafdan birini olib, qolgan narsalarga qo'shishimiz mumkin. Natijada, biz yana cheksiz natural sonlar to'plamini olamiz. Siz bizning barcha manipulyatsiyalarimizni quyidagicha yozishingiz mumkin:
Men harakatlarni algebraik yozuvda va to‘plam nazariyasi yozuvida, to‘plam elementlarining batafsil ro‘yxati bilan yozdim. Pastki belgisi bizda bitta va yagona natural sonlar to'plami mavjudligini bildiradi. Ma’lum bo‘lishicha, natural sonlar to‘plami undan bitta ayirilsa va bir xil birlik qo‘shilsagina o‘zgarishsiz qoladi.
Ikkinchi variant. Bizning javonimizda ko'plab cheksiz natural sonlar to'plami mavjud. Men ta'kidlayman - TURLI, garchi ular amalda farqlanmaydi. Keling, ushbu to'plamlardan birini olaylik. Keyin boshqa natural sonlar to'plamidan bittasini olamiz va uni allaqachon olgan to'plamga qo'shamiz. Hatto ikkita natural sonlar to'plamini qo'shishimiz mumkin. Buni olamiz:
"Bir" va "ikki" pastki belgisi bu elementlarning turli to'plamlarga tegishli ekanligini ko'rsatadi. Ha, agar siz cheksiz to'plamga bitta qo'shsangiz, natijada ham cheksiz to'plam bo'ladi, lekin u asl to'plam bilan bir xil bo'lmaydi. Bitta cheksiz to‘plamga boshqa cheksiz to‘plam qo‘shsangiz, natijada birinchi ikki to‘plam elementlaridan tashkil topgan yangi cheksiz to‘plam hosil bo‘ladi.
Natural sonlar to'plami o'lchash uchun o'lchagich bilan bir xil tarzda hisoblash uchun ishlatiladi. Endi o'lchagichga bir santimetr qo'shganingizni tasavvur qiling. Bu asl chiziqqa teng bo'lmagan boshqa chiziq bo'ladi.
Mening fikrimni qabul qilishingiz yoki qabul qilmasligingiz mumkin - bu sizning shaxsiy ishingiz. Ammo, agar siz matematik muammolarga duch kelsangiz, matematiklarning avlodlari bosib o'tgan yolg'on fikrlash yo'lidan ketyapsizmi, deb o'ylab ko'ring. Zero, matematikani o‘rganish, eng avvalo, bizda tafakkurning barqaror stereotipini shakllantiradi va shundan keyingina aqliy qobiliyatimizni oshiradi (yoki aksincha, bizni erkin fikrlashdan mahrum qiladi).
pozg.ru
Yakshanba, 4-avgust, 2019-yil
Men maqolaning postscriptini tugatayotgan edim va Vikipediyada ushbu ajoyib matnni ko'rdim:
Biz o'qiymiz: "... Bobil matematikasining boy nazariy asosi yaxlit xususiyatga ega emas edi va umumiy tizim va dalillar bazasidan mahrum bo'lgan turli xil texnikalar to'plamiga qisqartirildi".
Voy-buy! Biz qanchalik aqllimiz va boshqalarning kamchiliklarini qanchalik yaxshi ko'ra olamiz. Zamonaviy matematikaga bir xil kontekstda qarash biz uchun qiyinmi? Yuqoridagi matnni biroz izohlab, men shaxsan quyidagilarni oldim:
Zamonaviy matematikaning boy nazariy asosi yaxlit xususiyatga ega emas va umumiy tizim va dalillar bazasidan mahrum bo'lgan turli bo'limlar to'plamiga qisqartiriladi.
Men so'zlarimni tasdiqlash uchun uzoqqa bormayman - bu matematikaning boshqa ko'plab sohalari tili va qoidalaridan farq qiladigan til va qoidalarga ega. Matematikaning turli sohalaridagi bir xil nomlar har xil ma'noga ega bo'lishi mumkin. Men bir qator nashrlarni zamonaviy matematikaning eng aniq xatolariga bag'ishlamoqchiman. Ko'rishguncha.
Shanba, 3-avgust, 2019-yil
To‘plamni kichik to‘plamlarga qanday ajratish mumkin? Buning uchun tanlangan to'plamning ba'zi elementlarida mavjud bo'lgan yangi o'lchov birligini kiritishingiz kerak. Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik.
Bizda ko'p bo'lsin A to'rt kishidan iborat. Ushbu to'plam "odamlar" asosida tuzilgan. Keling, ushbu to'plamning elementlarini harf bilan belgilaymiz A, raqam bilan pastki belgisi ushbu to'plamdagi har bir shaxsning seriya raqamini ko'rsatadi. Keling, yangi "jins" o'lchov birligini kiritamiz va uni harf bilan belgilaymiz b. Jinsiy xususiyatlar barcha odamlarga xos bo'lganligi sababli, biz to'plamning har bir elementini ko'paytiramiz A jinsga asoslangan b. E'tibor bering, bizning "odamlar" to'plami endi "gender xususiyatlariga ega odamlar" to'plamiga aylandi. Shundan so'ng biz jinsiy xususiyatlarni erkaklarga ajratishimiz mumkin bm va ayollar bw jinsiy xususiyatlar. Endi biz matematik filtrni qo'llashimiz mumkin: biz ushbu jinsiy xususiyatlardan birini tanlaymiz, qaysi biri - erkak yoki ayol. Agar odamda bo'lsa, biz uni birga ko'paytiramiz, agar bunday belgi bo'lmasa, uni nolga ko'paytiramiz. Va keyin biz oddiy maktab matematikasidan foydalanamiz. Qarang, nima bo'ldi.
Ko'paytirish, qisqartirish va qayta tartibga solishdan so'ng biz ikkita kichik to'plamga ega bo'ldik: erkaklar to'plami Bm va ayollarning bir qismi Bw. Matematiklar to'plamlar nazariyasini amaliyotda qo'llashda taxminan xuddi shunday fikr yuritadilar. Ammo ular bizga tafsilotlarni aytmaydilar, lekin yakuniy natijani beradilar - "ko'p odamlar erkaklar va ayollarning bir qismidan iborat". Tabiiyki, sizda savol tug'ilishi mumkin: yuqorida ko'rsatilgan o'zgarishlarda matematika qanchalik to'g'ri qo'llanilgan? Sizni ishontirishga jur'at etamanki, o'zgartirishlar mohiyatan to'g'ri amalga oshirildi, buning uchun arifmetika, mantiqiy algebra va matematikaning boshqa sohalarini bilish kifoya. Bu nima? Boshqa payt men sizga bu haqda aytib beraman.
Supersetlarga kelsak, ushbu ikkita to'plamning elementlarida mavjud o'lchov birligini tanlab, ikkita to'plamni bitta supersetga birlashtira olasiz.
Ko'rib turganingizdek, o'lchov birliklari va oddiy matematika to'plamlar nazariyasini o'tmishning yodgorligiga aylantiradi. To'plamlar nazariyasida hamma narsa yaxshi emasligining belgisi shundaki, matematiklar to'plamlar nazariyasi uchun o'z tillari va yozuvlarini o'ylab topishgan. Matematiklar bir paytlar shamanlar kabi harakat qilishgan. Faqat shamanlar o'zlarining "bilimlarini" qanday "to'g'ri" qo'llashni bilishadi. Ular bizga bu "bilim" ni o'rgatadi.
Xulosa qilib aytganda, men sizga matematiklar qanday manipulyatsiya qilishini ko'rsatmoqchiman.
Dushanba, 7 yanvar, 2019 yil
Miloddan avvalgi V asrda qadimgi yunon faylasufi Eleyalik Zenon o'zining mashhur aporiyalarini tuzgan, ulardan eng mashhuri "Axilles va toshbaqa" aporiyasidir. Bu qanday eshitiladi:
Aytaylik, Axilles toshbaqadan o'n barobar tezroq yuguradi va undan ming qadam orqada. Bu masofani bosib o'tish uchun Axilles kerak bo'lgan vaqt ichida toshbaqa xuddi shu yo'nalishda yuz qadam sudraladi. Axilles yuz qadam yugurganda, toshbaqa yana o'n qadam sudraladi va hokazo. Jarayon infinitum davom etadi, Axilles hech qachon toshbaqaga yetib bormaydi.
Bu mulohaza barcha keyingi avlodlar uchun mantiqiy zarba bo'ldi. Aristotel, Diogen, Kant, Gegel, Gilbert... Ularning barchasi Zenonning aporiyasini u yoki bu tarzda hisoblagan. Shok shu qadar kuchli ediki " ... munozaralar bugungi kungacha davom etmoqda, ilmiy jamoatchilik hali paradokslar mohiyati haqida umumiy fikrga kela olmadi ... masalani o'rganishga matematik tahlil, to'plamlar nazariyasi, yangi fizik va falsafiy yondashuvlar jalb qilindi; ; ularning hech biri muammoning umumiy qabul qilingan yechimiga aylanmadi ..."[Vikipediya, "Zeno's Aporia". Hamma ularni aldashayotganini tushunadi, lekin hech kim yolg'on nimadan iboratligini tushunmaydi.
Matematik nuqtai nazardan Zenon o'z aporiyasida miqdordan ga o'tishni aniq ko'rsatdi. Ushbu o'tish doimiy o'rniga dasturni nazarda tutadi. Men tushunganimdek, o'zgaruvchan o'lchov birliklaridan foydalanish uchun matematik apparat hali ishlab chiqilmagan yoki Zenon aporiyasiga qo'llanilmagan. Odatdagi mantiqimizni qo'llash bizni tuzoqqa olib boradi. Biz fikrlash inertsiyasi tufayli o'zaro qiymatga doimiy vaqt birliklarini qo'llaymiz. Jismoniy nuqtai nazardan, bu Axilles toshbaqani quvib yetgan paytda to'liq to'xtaguncha vaqt sekinlashayotganga o'xshaydi. Vaqt to'xtasa, Axilles endi toshbaqadan o'tib keta olmaydi.
Agar biz odatdagi mantiqimizni aylantirsak, hamma narsa joyiga tushadi. Axilles doimiy tezlikda yuguradi. Uning yo'lining har bir keyingi qismi avvalgisidan o'n baravar qisqaroq. Shunga ko'ra, uni engish uchun sarflangan vaqt avvalgisidan o'n baravar kam. Agar biz ushbu vaziyatda "abadiylik" tushunchasini qo'llasak, "Axilles toshbaqani cheksiz tezlikda ushlaydi" deyish to'g'ri bo'ladi.
Ushbu mantiqiy tuzoqdan qanday qochish kerak? Doimiy vaqt birliklarida qoling va o'zaro birliklarga o'tmang. Zenon tilida bu shunday ko'rinadi:
Axilles ming qadam yugurishi kerak bo'lgan vaqt ichida toshbaqa xuddi shu yo'nalishda yuz qadam sudraladi. Birinchisiga teng bo'lgan keyingi vaqt oralig'ida Axilles yana ming qadam yuguradi, toshbaqa esa yuz qadam sudraladi. Endi Axilles toshbaqadan sakkiz yuz qadam oldinda.
Bu yondashuv voqelikni mantiqiy paradokslarsiz adekvat tasvirlaydi. Ammo bu muammoning to'liq yechimi emas. Eynshteynning yorug'lik tezligining chidab bo'lmasligi haqidagi bayonoti Zenonning "Axilles va toshbaqa" aporiyasiga juda o'xshaydi. Biz bu muammoni hali o'rganishimiz, qayta o'ylab ko'rishimiz va hal qilishimiz kerak. Va yechimni cheksiz ko'p sonlarda emas, balki o'lchov birliklarida izlash kerak.
Zenonning yana bir qiziqarli aporiyasi uchadigan o'q haqida gapiradi:
Uchib yuruvchi o'q harakatsiz, chunki u har daqiqada dam oladi va har daqiqada dam bo'lgani uchun u doimo dam oladi.
Ushbu aporiyada mantiqiy paradoks juda sodda tarzda engib o'tiladi - har bir vaqtning har bir lahzasida uchuvchi o'q kosmosning turli nuqtalarida tinch holatda bo'lishini aniqlashtirish kifoya, bu aslida harakatdir. Shu o‘rinda yana bir jihatga e’tibor qaratish lozim. Yo'lda avtomobilning bitta fotosuratidan uning harakatlanish faktini ham, unga bo'lgan masofani ham aniqlab bo'lmaydi. Mashinaning harakatlanayotganligini aniqlash uchun sizga vaqtning turli nuqtalarida bir nuqtadan olingan ikkita fotosurat kerak, ammo siz ulardan masofani aniqlay olmaysiz. Avtomobilgacha bo'lgan masofani aniqlash uchun sizga bir vaqtning o'zida kosmosning turli nuqtalaridan olingan ikkita fotosurat kerak, ammo ulardan siz harakat faktini aniqlay olmaysiz (albatta, hisob-kitoblar uchun sizga hali ham qo'shimcha ma'lumotlar kerak, trigonometriya sizga yordam beradi ). Men alohida e'tibor qaratmoqchi bo'lgan narsa shundaki, vaqtning ikki nuqtasi va kosmosdagi ikkita nuqta chalkashmaslik kerak bo'lgan turli xil narsalardir, chunki ular tadqiqot uchun turli imkoniyatlar yaratadi.
Men sizga jarayonni misol bilan ko'rsataman. Biz "pimple ichidagi qizil qattiq" ni tanlaymiz - bu bizning "butun". Shu bilan birga, biz bu narsalarning kamonli va kamonsiz borligini ko'ramiz. Shundan so'ng, biz "butun" ning bir qismini tanlaymiz va "kamon bilan" to'plamni hosil qilamiz. Shamanlar o'zlarining to'plam nazariyasini haqiqatga bog'lash orqali oziq-ovqatlarini shu tarzda olishadi.
Endi bir oz hiyla qilaylik. Keling, "pimple va kamon bilan qattiq" ni olaylik va qizil elementlarni tanlab, bu "butunlarni" rangga ko'ra birlashtiramiz. Bizda juda ko'p "qizil" bor. Endi yakuniy savol: natijada "kamon bilan" va "qizil" to'plamlar bir xil to'plammi yoki ikki xil to'plammi? Javobni faqat shamanlar biladi. Aniqrog'i, ularning o'zlari hech narsani bilishmaydi, lekin ular aytganidek, shunday bo'ladi.
Bu oddiy misol shuni ko'rsatadiki, to'plam nazariyasi haqiqatga kelganda mutlaqo foydasizdir. Buning siri nimada? Biz "pimple va kamon bilan qizil qattiq" to'plamini yaratdik. Shakllanish to'rt xil o'lchov birligida sodir bo'ldi: rang (qizil), kuch (qattiq), pürüzlülük (pimply), bezak (kamon bilan). Faqat o'lchov birliklari to'plami haqiqiy ob'ektlarni matematika tilida etarli darajada tasvirlashga imkon beradi.. Bu shunday ko'rinadi.
Turli indeksli "a" harfi turli o'lchov birliklarini bildiradi. Dastlabki bosqichda "butun" ajralib turadigan o'lchov birliklari qavs ichida ta'kidlangan. Qavs ichidan to‘plam hosil bo‘lgan o‘lchov birligi olinadi. Oxirgi satr yakuniy natijani ko'rsatadi - to'plam elementi. Ko'rib turganingizdek, to'plamni shakllantirish uchun o'lchov birliklaridan foydalansak, natija bizning harakatlarimiz tartibiga bog'liq emas. Va bu matematika, shamanlarning daf bilan raqsga tushishi emas. Shamanlar "intuitiv ravishda" bir xil natijaga kelishlari mumkin, bu "aniq" ekanligini ta'kidlaydilar, chunki o'lchov birliklari ularning "ilmiy" arsenalining bir qismi emas.
O'lchov birliklaridan foydalanib, bitta to'plamni ajratish yoki bir nechta to'plamlarni bitta supersetga birlashtirish juda oson. Keling, ushbu jarayonning algebrasini batafsil ko'rib chiqaylik.
Agar siz allaqachon tanish bo'lsangiz trigonometrik doira , va siz shunchaki ma'lum elementlar haqida xotirangizni yangilashni xohlaysiz yoki butunlay sabrsiz bo'lsangiz, mana bu:
Bu erda biz hamma narsani bosqichma-bosqich batafsil tahlil qilamiz.
Trigonometrik doira hashamat emas, balki zaruratdir
Trigonometriya
Ko'pchilik uni o'tib bo'lmaydigan chakalakzor bilan bog'laydi. To'satdan, trigonometrik funktsiyalarning juda ko'p qiymatlari, juda ko'p formulalar to'planib ketdi ... Lekin bu boshida ishlamaganga o'xshaydi va ... biz ketamiz ... to'liq tushunmovchilik ...
Taslim bo'lmaslik juda muhim trigonometrik funksiyalarning qiymatlari, - deyishadi, siz har doim qiymatlar jadvali bilan shpurga qarashingiz mumkin.
Agar siz doimo trigonometrik formulalar qiymatlari bo'lgan jadvalga qarasangiz, keling, bu odatdan xalos bo'laylik!
U bizga yordam beradi! Siz u bilan bir necha marta ishlaysiz, keyin u sizning boshingizda paydo bo'ladi. Qanday qilib stoldan yaxshiroq? Ha, jadvalda siz cheklangan miqdordagi qiymatlarni topasiz, lekin aylanada - HAMMA!
Masalan, qaraganingizda ayting trigonometrik formulalar qiymatlarining standart jadvali , sinus nimaga teng, aytaylik, 300 daraja yoki -45.
Hechqisi yo'q?.. siz, albatta, ulanishingiz mumkin kamaytirish formulalari... Va trigonometrik doiraga qarab, bunday savollarga osongina javob berishingiz mumkin. Va tez orada qanday qilib bilib olasiz!
Va trigonometrik tenglamalar va tengsizliklarni trigonometrik doirasiz yechishda, bu mutlaqo hech qanday joyda emas.
Trigonometrik doira bilan tanishtirish
Keling, tartibda boraylik.
Birinchidan, keling, ushbu raqamlar qatorini yozamiz:
Va endi bu:
Va nihoyat bu:
Albatta, aniqki, aslida birinchi o'rinda , ikkinchi o'rinda , va oxirgi o'rinda . Ya'ni, biz zanjirga ko'proq qiziqish bildiramiz.
Ammo bu qanchalik chiroyli bo'lib chiqdi! Agar biror narsa yuz bersa, biz bu "mo''jizaviy narvon" ni tiklaymiz.
Va nima uchun bizga kerak?
Bu zanjir birinchi chorakda sinus va kosinusning asosiy qiymatlari hisoblanadi.
To'g'ri to'rtburchaklar koordinatalar sistemasida birlik radiusi bo'lgan doira chizamiz (ya'ni uzunligi bo'yicha istalgan radiusni olamiz va uning uzunligini birlik deb e'lon qilamiz).
"0-Start" nuridan biz burchaklarni o'q yo'nalishi bo'yicha yotqizamiz (rasmga qarang).
Biz doira bo'ylab tegishli nuqtalarni olamiz. Shunday qilib, agar biz nuqtalarni har bir o'qga proyeksiya qilsak, yuqoridagi zanjirdan aniq qiymatlarni olamiz.
Nega bu, deb so'rayapsizmi?
Hamma narsani tahlil qilmaylik. Keling, ko'rib chiqaylik tamoyili, bu sizga boshqa, shunga o'xshash vaziyatlarni engishga imkon beradi.
AOB uchburchagi to'rtburchak bo'lib, ni o'z ichiga oladi. Va bilamizki, b burchagiga qarama-qarshi tomonda gipotenuzaning yarmi kattalikdagi oyoq yotadi (bizda gipotenuza = aylananing radiusi, ya'ni 1 ga teng).
Bu AB= (va shuning uchun OM=) ni bildiradi. Va Pifagor teoremasiga ko'ra
Umid qilamanki, biror narsa allaqachon aniq bo'ladimi?
Shunday qilib, B nuqtasi qiymatga, M nuqtasi esa qiymatga mos keladi
Birinchi chorakning boshqa qiymatlari bilan bir xil.
Siz tushunganingizdek, tanish o'q (ho'kiz) bo'ladi kosinus o'qi, va o'q (oy) - sinuslar o'qi . Keyinchalik.
Kosinus o'qi bo'ylab nolning chap tomonida (sinus o'qi bo'ylab noldan pastda), albatta, salbiy qiymatlar bo'ladi.
Demak, mana, qudratli, usiz trigonometriyada hech qanday joy yo'q.
Ammo biz trigonometrik doiradan qanday foydalanish haqida gaplashamiz.
Koordinatalar x aylanada yotgan nuqtalar cos(th) va koordinatalariga teng y sin(th) ga to'g'ri keladi, bu erda th - burchakning kattaligi.
- Agar sizga ushbu qoidani eslab qolish qiyin bo'lsa, esda tutingki, juftlikda (cos; sin) "sinus oxirgi keladi".
- Ushbu qoidani to'g'ri burchakli uchburchaklar va ushbu trigonometrik funktsiyalarning ta'rifini hisobga olgan holda (burchakning sinusi qarama-qarshi tomonning uzunligiga va qo'shni tomonning kosinusining gipotenuzaga nisbatiga teng) olinishi mumkin.
Doiradagi to'rtta nuqtaning koordinatalarini yozing."Birlik doira" - bu radiusi birga teng bo'lgan doira. Bu koordinatalarni aniqlash uchun foydalaning x Va y koordinata o'qlarining doira bilan kesishgan to'rtta nuqtasida. Yuqorida, aniqlik uchun biz ushbu nuqtalarni "sharq", "shimoliy", "g'arbiy" va "janubiy" deb belgiladik, garchi ularning aniq nomlari yo'q.
- "Sharq" koordinatali nuqtaga to'g'ri keladi (1; 0) .
- "Shimoliy" koordinatali nuqtaga to'g'ri keladi (0; 1) .
- "G'arb" koordinatali nuqtaga to'g'ri keladi (-1; 0) .
- "Janubiy" koordinatali nuqtaga to'g'ri keladi (0; -1) .
- Bu oddiy grafikaga o'xshaydi, shuning uchun bu qiymatlarni yodlashning hojati yo'q, faqat asosiy printsipni eslab qoling.
Birinchi kvadrantdagi nuqtalarning koordinatalarini eslang. Birinchi kvadrant aylananing yuqori o'ng qismida joylashgan bo'lib, u erda koordinatalar joylashgan x Va y ijobiy qiymatlarni qabul qiling. Bu eslab qolishingiz kerak bo'lgan yagona koordinatalar:
To'g'ri chiziqlar chizing va ularning aylana bilan kesishgan nuqtalarining koordinatalarini aniqlang. Agar siz bitta kvadrant nuqtalaridan to'g'ri gorizontal va vertikal chiziqlar chizsangiz, bu chiziqlarning doira bilan kesishgan ikkinchi nuqtalari koordinatalarga ega bo'ladi. x Va y bir xil mutlaq qiymatlar bilan, lekin har xil belgilar bilan. Boshqacha qilib aytganda, siz birinchi kvadrant nuqtalaridan gorizontal va vertikal chiziqlar chizishingiz va aylana bilan kesishish nuqtalarini bir xil koordinatalar bilan belgilashingiz mumkin, lekin ayni paytda to'g'ri belgi uchun chap tomonda bo'sh joy qoldiring ("+" yoki "-").
Koordinatalar belgisini aniqlash uchun simmetriya qoidalaridan foydalaning."-" belgisini qaerga qo'yishni aniqlashning bir necha yo'li mavjud:
- Oddiy jadvallar uchun asosiy qoidalarni eslang. Eksa x chapda salbiy va o'ngda ijobiy. Eksa y pastda salbiy va yuqorida ijobiy;
- birinchi kvadrantdan boshlang va boshqa nuqtalarga chiziqlar torting. Agar chiziq o'qni kesib o'tsa y, muvofiqlashtirish x belgisini o'zgartiradi. Agar chiziq o'qni kesib o'tsa x, koordinataning belgisi o'zgaradi y;
- esda tutingki, birinchi kvadrantda barcha funksiyalar ijobiy, ikkinchi chorakda faqat sinus musbat, uchinchi chorakda faqat tangens musbat, to'rtinchi chorakda faqat kosinus ijobiy;
- Qaysi usuldan foydalansangiz, birinchi chorakda (+,+), ikkinchisida (-,+), uchinchisida (-,-) va to'rtinchisida (+,-) olish kerak.
Xato qilganingizni tekshiring. Quyida "maxsus" nuqtalarning koordinatalarining to'liq ro'yxati (koordinata o'qlaridagi to'rtta nuqtadan tashqari), agar siz birlik doirasi bo'ylab soat miliga teskari yo'nalishda harakat qilsangiz. Esda tutingki, ushbu qiymatlarning barchasini aniqlash uchun faqat birinchi kvadrantdagi nuqtalarning koordinatalarini eslab qolish kifoya:
- birinchi kvadrant: ( 3 2 , 1 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (3))(2)),(\frac (1)(2)))); (2 2 , 2 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (2))(2)),(\frac (\sqrt (2))(2)))); (1 2 , 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(2)),(\frac (\sqrt (3))(2))));
- ikkinchi kvadrant: ( − 1 2 , 3 2 (\displaystyle -(\frac (1)(2)),(\frac (\sqrt (3))(2)))); (− 2 2 , 2 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (2))(2)),(\frac (\sqrt (2))(2)))); (− 3 2 , 1 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (3))(2)),(\frac (1)(2))));
- uchinchi kvadrant: ( − 3 2 , − 1 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (3))(2)),-(\frac (1)(2))); (− 2 2 , − 2 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (2))(2)),-(\frac (\sqrt (2))(2)))); (− 1 2 , − 3 2 (\displaystyle -(\frac (1)(2)),-(\frac (\sqrt (3))(2))));
- to'rtinchi kvadrant: ( 1 2 , − 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(2)),-(\frac (\sqrt (3))(2)))); (2 2 , − 2 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (2))(2)),-(\frac (\sqrt (2))(2)))); (3 2 , − 1 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (3))(2)),-(\frac (1)(2))).
